Limite de funcții

Notă: dând un clic pe numărul formulei veți fi direcționați la pagina cu formule. Evident numărul indicat pe această reprezintă numărul formulei de pe pagina Limite.

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1. Să se calculeze limita pentru u ≠ 0:

031

Rezolvare:

Deoarece u ≠ 0, putem amplifica fracția cu u:
032
Facem schimbarea de variabilă y = ux și observăm că pentru x → 0 avem y = ux → 0. Deci vom avea de calculat limita:
033
Conform formulei 1, limita de mai sus este egală cu 1, deci punând într-un șir toate calculele vom avea:
034

Exercițiul 2.
035

Rezolvare:

Notăm e2 cu a și atunci limita devine:
036

Aplicăm formula 8 și, înlocuind pe a cu e2, vom obține:
037

Exercițiul 3. Să se calculeze:
048

Rezolvare

049
050

Conform proprietăților limitelor, limita cerută va fi egală cu limita termenului din paranteză la puterea limită din puterea expresiei de mai sus. Concret vom calcula 2 limite:

051         (1)
052        (2)

Deci, înlocuind (1) și (2) în limita inițială, vom obține:
053

 

 

Exerciții propuse:

038039

040041042

Asimptotele funcțiilor reale

Exerciții rezolvate:

1.Să se determine domeniul de definiție și toate asimptotele funcției :

015 014

Rezolvare:

Domeniul de definiție va fi :

016

Mai întâi vom vedea dacă există asimptota orizontală. Pentru aceasta vom calcula următoarea limită:

017

Deci y =0 este asimptotă orizontală la +∞. Deoarece pentru x → -∞ avem același rezultat, putem spune că y = 0 este asimptotă orizontală la – ∞.

Acum vom vedea dacă avem asimptotă verticală. Vom calcula limitele laterale pentru x = 1:

a) limita stângă (x < 1):

018

Deci x = 1 este asimptotă verticală la stânga.

b) limita dreaptă(x>1):

019

Deci x = 1 este asimptotă verticală la dreapta.

Deoarece avem asimptote orizaontale și la – ∞ și la + ∞, nu avem asimptote oblice.

 

Exerciții propuse:

1.Fie

015
Să se determine domeniul maxim de definiție și să se afle (dacă există) asimptotele orizontale, verticale, oblice  pentru următoarele forme ale funcției  f :
020
021
022