Aplicații proprietatea lui Darboux (pD)

Exerciții rezolvate

1.Fie funcția:

043

Să se stabilească semnul funcției pe 044.

Rezolvare

Determinăm soluțiile ecuației f(x) = 0 ⇒ x2 – x = 0 ⇒ x(x-1) = 0 ⇒ x1 = 0 și x2 = 1. Cf pD pe fiecare dintre intervalele (-∞ , 0) , (0,1) , (1, +∞) avem semn constant. Pentru a afla semnul vom lua o valoare pe fiecare interval și vom calcula valoarea funcției pentru acea valoare:

f (-1) = 2 > 0 ⇒ f  este pozitivă pentru intervalul (-∞ , 0)
f (1/2) = -1/4 < 0 ⇒ f  este negativă pentru intervalul (0 , 1)
f (2) = 2 > 0 ⇒ f  este pozitivă pentru intervalul (1, +∞)

2.Să se rezolve inecuația (x2 – x – 2) lg x > 0

Rezolvare.

Vom pune condiția de existență a logaritmului ⇒ D = (0, +∞). Vom asocia o funcție f(x) = f1(x)f2(x), unde f1(x) = x– x – 2 și f2(x) = lgx . Prima funcție se anulează în x1 = -1 și x2 = 2, iar a doua funcție se anulează pentru x3 = 1. Pentru a stabili semnul funcției vom face următorul tabel:

046

Așa cum putem observa din tabel avem semnul funcției pozitiv pentru x între 1 și 2, deci soluția inecuației este x ∈ (1 , 2)

Exerciții propuse

Să se studieze semnul următoarelor funcții:

  1. f(x)= x4 – 10x2 + 9
  2. f(x)= 2x3 + 3x2 – 3x – 2
  3. f(x)= (x2-4)lgx ≤ 0
  4.  f(x) = (x + 1)ln(-x), pentru  x ∈ ( – ∞ , 0 )
  5.   f(x) = sin x + cos x, pentru x ∈ [0 , π/2]
  6.  f(x) = 1 + 2 lnx
  7.  f(x) = ln2x – 3lnx + 2

Limite de funcții

Notă: dând un clic pe numărul formulei veți fi direcționați la pagina cu formule. Evident numărul indicat pe această reprezintă numărul formulei de pe pagina Limite.

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1. Să se calculeze limita pentru u ≠ 0:

031

Rezolvare:

Deoarece u ≠ 0, putem amplifica fracția cu u:
032
Facem schimbarea de variabilă y = ux și observăm că pentru x → 0 avem y = ux → 0. Deci vom avea de calculat limita:
033
Conform formulei 1, limita de mai sus este egală cu 1, deci punând într-un șir toate calculele vom avea:
034

Exercițiul 2.
035

Rezolvare:

Notăm e2 cu a și atunci limita devine:
036

Aplicăm formula 8 și, înlocuind pe a cu e2, vom obține:
037

Exercițiul 3. Să se calculeze:
048

Rezolvare

049
050

Conform proprietăților limitelor, limita cerută va fi egală cu limita termenului din paranteză la puterea limită din puterea expresiei de mai sus. Concret vom calcula 2 limite:

051         (1)
052        (2)

Deci, înlocuind (1) și (2) în limita inițială, vom obține:
053

 

 

Exerciții propuse:

038039

040041042

Asimptotele funcțiilor reale

Exerciții rezolvate:

1.Să se determine domeniul de definiție și toate asimptotele funcției :

015 014

Rezolvare:

Domeniul de definiție va fi :

016

Mai întâi vom vedea dacă există asimptota orizontală. Pentru aceasta vom calcula următoarea limită:

017

Deci y =0 este asimptotă orizontală la +∞. Deoarece pentru x → -∞ avem același rezultat, putem spune că y = 0 este asimptotă orizontală la – ∞.

Acum vom vedea dacă avem asimptotă verticală. Vom calcula limitele laterale pentru x = 1:

a) limita stângă (x < 1):

018

Deci x = 1 este asimptotă verticală la stânga.

b) limita dreaptă(x>1):

019

Deci x = 1 este asimptotă verticală la dreapta.

Deoarece avem asimptote orizaontale și la – ∞ și la + ∞, nu avem asimptote oblice.

 

Exerciții propuse:

1.Fie

015
Să se determine domeniul maxim de definiție și să se afle (dacă există) asimptotele orizontale, verticale, oblice  pentru următoarele forme ale funcției  f :
020
021
022

 

 

 

Aplicații ale determinanților

Exerciții rezolvate:

1.Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(2,3) și B(4,6).

Rezolvare

Ecuația dreptei se poate afla cu ajutorul determinantului:

008

Înlocuind cu coordonatele punctelor A și B obținem:

009

= 3x + 4y + 12 – 12 – 6x – 2y = 0 ⇒ y = 3/2 x

2. Să se studieze dacă punctele A(2,3), B(4,6) și C(5,7) sunt coliniare.

Rezolvare.

Pentru ca aceste puncte să fie coliniare trebuie ca matricea

010

să fie egală cu zero.

Înlocuim cu valorile din enunț și facem calculele:

011

= 2x6x1 + 3x1x5 + 4x7x1 – 5x6x1 – 2x7x1 – 4x3x1 = – 1 ≠ 0, deci puncte nu sunt coliniare.

3.Să se determine aria triunghiului determinat de punctele A(2,3), B(4,6) și C(5,7).

Rezolvare.

Pentru următoarea notație:

012

avem

Aria = 1/2 |Δ|

Înlocuind pentru valorile din enunț:

013

= -1 (calculele sunt realizate la exercițiul anterior)

Deci Aria = 1/2

Exerciții propuse

  1. Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(0,2) și B (2,4)
  2. Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(1,3) și B(3,3). Ce proprietate are această dreaptă?
  3. Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(-10, -30) și B(10, -20)
  4. Dacă aria triunghiului determinat de trei puncte A, B și C este egală cu 0, ce putem spune despre cele 3 puncte?
  5. Să se calculeze aria triunghiului determinat de punctele A(1,0), B(0,1) și C(0,0)

 

 

Determinanți (calcul și proprietăți) (în lucru)

Proprietăți (doar o parte. Pentru restul consultați manualul):

  1. Dacă toate elementele unei linii/coloane dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul asociat matricei este nul.
  2. Dacă într-o matrice schimbăm două linii/coloane între ele, obținem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
  3. Dacă o matrice are două linii/coloane identice, atunci determinantul asociat matricei este nul.
  4. Dacă elementele a două linii/coloane ale unei matrice sunt proporționale, atunci determinantul asociat matricei este nul.
  5. Dacă la o linie/coloană a unei matrice A adunăm elementele altei linii/coloane înmulțite cu acelați număr. Notăm cu B matricea obținută în urma acestor operații. Atunci det(A) = det(B).

Exerciții rezolvate:

1.Să se calculeze valoarea determinantului (n = 2):

010

Rezolvare:

Valoarea va fi dată de diferența dintre produsul elementelor de pe prima diagonală (\) și produsul elementelor de pe a doua diagonală (/):

= 3×2 – (-1)x6 = 12

 

2.Să se calculeze valoarea determinantului (n = 3):

008

Rezolvare.

Vom folosi metoda lui Sarrus. Vom copia primele două linii:

009

Se vor înmulți elementele de pe diagonalele care conțin 3 elemente. Astfel produsul de pe diagonala \ va avea semnul “+”, iar produsul elementelor de pe diagonala / va avea semnul “-“. Deci valoarea determinantului va fi:

= 3x2x1 + 6x(-7)x2 + 2x(-1)x5 – 2x2x2 – 5x(-7)x3 – 1x(-1)x6 = 6 – 84 – 10 – 6 + 105 + 6 = 17

3. Să se calculeze valoarea determinantului (n = 4):

011

Rezolvare

Metoda 1.

Vom folosi proprietățile pentru a obține pe o linie sau coloană cât mai multe elemente egale cu zero. De exemplu, putem alege coloana a 3-a. O înmulțim cu 6 și o adunăm la prima coloană (celelalte coloane vor rămâne neschimbate).

002

Apoi înmulțim coloana a 3-a cu 3 și o adună la a doua coloană:

003

În final vom înmulți coloana a 3-a cu 2 și o vom aduna la coloana a 4-a:

004

Acum vom “desface” determinantul după a doua linie. Pentru că primele două elemente de pe linia a 2-a și al 4-lea sunt 0, atunci vom avea de calculat un singur determinat de ordin 3. Pe primul loc va fi (-1) la puterea dată de suma dintre nr liniei și nr coloanei (2+3) înmulțit cu elementul nenul (-1) înmulțit cu determinatul obținut prin eliminarea liniei și coloanei pe care se află elementul nenul. Cum -1 la puterea a 5-a este -1 și înmulțit cu coeficientul -1 obținem în fața determinatului 1. Concret vom avea de calculat:

005

= -671

Metoda 2 (nu o recomand)

Fără a aplica proprietățile determinanților putem dezvolta după o linie/coloană. De exemplu putem “desface” determinantul după prima linie:

006

Observăm că valoarea ultimului termen este zero (deoarece avem o înmulțire cu zero), iar la termenul 2 și termenul 3 putem da factor comun 2. Atunci vom obține:

007

= 7 ( 3x2x1 + (-1)x5x2 + 6x(-7)x2 – 2x2x2 – (-7)x5x3 – (-1)x6x1) – 8 ( 3x2x1 + (-1)x5x4 +

+2x2x(-7) – 4x2x2 – 3x5x(-7) – 2x(-1)x1) + 4 (3x6x1 +3x4x5 +2x2x2 – 4x6x2 –

– 5x3x2 – 2x3x1) = 671

 

Exerciții propuse

  1. Să se calculeze valoarea determinanților (n=2):

012

2.Să se calculeze valoarea determinanților (n=3):

001

3.Să se calculeze valoarea determinanților(n-4):

 

Operații cu matrice

Exerciții rezolvate:

1.Fie două matrice A și B unde
002
003

Să se afle matricea C = AB

Rezolvare:
Deoarece numărul de linii a matricei A este egal cu numărul de coloane a lui B se poate calcula produsul AB. Matricea C va avea numărul de linii a lui A și numărul de coloane a lui B deci va fi de forma:
004
unde:

c11 = 1×1 + (-1)x0 + 2x(-1) = -1
c12 = 1×4 + (-1)x0 + 2×1 = 6
c21 = 0x1 + 4×0 + (-3)x(-1) = 3
c22 = 0x4 + 4X0 + 1X(-3) = -3

Deci

005

Exerciții propuse:

  1. Fie matricele A și B de forma:

006 007

Să se calculeze:

a) A + B, AB, BA
b) A2, B2 , A2 – B2
c) AB – BA