Aplicații ale determinanților

Exerciții rezolvate:

1.Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(2,3) și B(4,6).

Rezolvare

Ecuația dreptei se poate afla cu ajutorul determinantului:

008

Înlocuind cu coordonatele punctelor A și B obținem:

009

= 3x + 4y + 12 – 12 – 6x – 2y = 0 ⇒ y = 3/2 x

2. Să se studieze dacă punctele A(2,3), B(4,6) și C(5,7) sunt coliniare.

Rezolvare.

Pentru ca aceste puncte să fie coliniare trebuie ca matricea

010

să fie egală cu zero.

Înlocuim cu valorile din enunț și facem calculele:

011

= 2x6x1 + 3x1x5 + 4x7x1 – 5x6x1 – 2x7x1 – 4x3x1 = – 1 ≠ 0, deci puncte nu sunt coliniare.

3.Să se determine aria triunghiului determinat de punctele A(2,3), B(4,6) și C(5,7).

Rezolvare.

Pentru următoarea notație:

012

avem

Aria = 1/2 |Δ|

Înlocuind pentru valorile din enunț:

013

= -1 (calculele sunt realizate la exercițiul anterior)

Deci Aria = 1/2

Exerciții propuse

  1. Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(0,2) și B (2,4)
  2. Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(1,3) și B(3,3). Ce proprietate are această dreaptă?
  3. Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(-10, -30) și B(10, -20)
  4. Dacă aria triunghiului determinat de trei puncte A, B și C este egală cu 0, ce putem spune despre cele 3 puncte?
  5. Să se calculeze aria triunghiului determinat de punctele A(1,0), B(0,1) și C(0,0)

 

 

Determinanți (calcul și proprietăți) (în lucru)

Proprietăți (doar o parte. Pentru restul consultați manualul):

  1. Dacă toate elementele unei linii/coloane dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul asociat matricei este nul.
  2. Dacă într-o matrice schimbăm două linii/coloane între ele, obținem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
  3. Dacă o matrice are două linii/coloane identice, atunci determinantul asociat matricei este nul.
  4. Dacă elementele a două linii/coloane ale unei matrice sunt proporționale, atunci determinantul asociat matricei este nul.
  5. Dacă la o linie/coloană a unei matrice A adunăm elementele altei linii/coloane înmulțite cu acelați număr. Notăm cu B matricea obținută în urma acestor operații. Atunci det(A) = det(B).

Exerciții rezolvate:

1.Să se calculeze valoarea determinantului (n = 2):

010

Rezolvare:

Valoarea va fi dată de diferența dintre produsul elementelor de pe prima diagonală (\) și produsul elementelor de pe a doua diagonală (/):

= 3×2 – (-1)x6 = 12

 

2.Să se calculeze valoarea determinantului (n = 3):

008

Rezolvare.

Vom folosi metoda lui Sarrus. Vom copia primele două linii:

009

Se vor înmulți elementele de pe diagonalele care conțin 3 elemente. Astfel produsul de pe diagonala \ va avea semnul “+”, iar produsul elementelor de pe diagonala / va avea semnul “-“. Deci valoarea determinantului va fi:

= 3x2x1 + 6x(-7)x2 + 2x(-1)x5 – 2x2x2 – 5x(-7)x3 – 1x(-1)x6 = 6 – 84 – 10 – 6 + 105 + 6 = 17

3. Să se calculeze valoarea determinantului (n = 4):

011

Rezolvare

Metoda 1.

Vom folosi proprietățile pentru a obține pe o linie sau coloană cât mai multe elemente egale cu zero. De exemplu, putem alege coloana a 3-a. O înmulțim cu 6 și o adunăm la prima coloană (celelalte coloane vor rămâne neschimbate).

002

Apoi înmulțim coloana a 3-a cu 3 și o adună la a doua coloană:

003

În final vom înmulți coloana a 3-a cu 2 și o vom aduna la coloana a 4-a:

004

Acum vom “desface” determinantul după a doua linie. Pentru că primele două elemente de pe linia a 2-a și al 4-lea sunt 0, atunci vom avea de calculat un singur determinat de ordin 3. Pe primul loc va fi (-1) la puterea dată de suma dintre nr liniei și nr coloanei (2+3) înmulțit cu elementul nenul (-1) înmulțit cu determinatul obținut prin eliminarea liniei și coloanei pe care se află elementul nenul. Cum -1 la puterea a 5-a este -1 și înmulțit cu coeficientul -1 obținem în fața determinatului 1. Concret vom avea de calculat:

005

= -671

Metoda 2 (nu o recomand)

Fără a aplica proprietățile determinanților putem dezvolta după o linie/coloană. De exemplu putem “desface” determinantul după prima linie:

006

Observăm că valoarea ultimului termen este zero (deoarece avem o înmulțire cu zero), iar la termenul 2 și termenul 3 putem da factor comun 2. Atunci vom obține:

007

= 7 ( 3x2x1 + (-1)x5x2 + 6x(-7)x2 – 2x2x2 – (-7)x5x3 – (-1)x6x1) – 8 ( 3x2x1 + (-1)x5x4 +

+2x2x(-7) – 4x2x2 – 3x5x(-7) – 2x(-1)x1) + 4 (3x6x1 +3x4x5 +2x2x2 – 4x6x2 –

– 5x3x2 – 2x3x1) = 671

 

Exerciții propuse

  1. Să se calculeze valoarea determinanților (n=2):

012

2.Să se calculeze valoarea determinanților (n=3):

001

3.Să se calculeze valoarea determinanților(n-4):