Limite de funcții

Notă: dând un clic pe numărul formulei veți fi direcționați la pagina cu formule. Evident numărul indicat pe această reprezintă numărul formulei de pe pagina Limite.

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1. Să se calculeze limita pentru u ≠ 0:

031

Rezolvare:

Deoarece u ≠ 0, putem amplifica fracția cu u:
032
Facem schimbarea de variabilă y = ux și observăm că pentru x → 0 avem y = ux → 0. Deci vom avea de calculat limita:
033
Conform formulei 1, limita de mai sus este egală cu 1, deci punând într-un șir toate calculele vom avea:
034

Exercițiul 2.
035

Rezolvare:

Notăm e2 cu a și atunci limita devine:
036

Aplicăm formula 8 și, înlocuind pe a cu e2, vom obține:
037

Exercițiul 3. Să se calculeze:
048

Rezolvare

049
050

Conform proprietăților limitelor, limita cerută va fi egală cu limita termenului din paranteză la puterea limită din puterea expresiei de mai sus. Concret vom calcula 2 limite:

051         (1)
052        (2)

Deci, înlocuind (1) și (2) în limita inițială, vom obține:
053

 

 

Exerciții propuse:

038039

040041042

Aplicații ale determinanților

Exerciții rezolvate:

1.Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(2,3) și B(4,6).

Rezolvare

Ecuația dreptei se poate afla cu ajutorul determinantului:

008

Înlocuind cu coordonatele punctelor A și B obținem:

009

= 3x + 4y + 12 – 12 – 6x – 2y = 0 ⇒ y = 3/2 x

2. Să se studieze dacă punctele A(2,3), B(4,6) și C(5,7) sunt coliniare.

Rezolvare.

Pentru ca aceste puncte să fie coliniare trebuie ca matricea

010

să fie egală cu zero.

Înlocuim cu valorile din enunț și facem calculele:

011

= 2x6x1 + 3x1x5 + 4x7x1 – 5x6x1 – 2x7x1 – 4x3x1 = – 1 ≠ 0, deci puncte nu sunt coliniare.

3.Să se determine aria triunghiului determinat de punctele A(2,3), B(4,6) și C(5,7).

Rezolvare.

Pentru următoarea notație:

012

avem

Aria = 1/2 |Δ|

Înlocuind pentru valorile din enunț:

013

= -1 (calculele sunt realizate la exercițiul anterior)

Deci Aria = 1/2

Exerciții propuse

  1. Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(0,2) și B (2,4)
  2. Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(1,3) și B(3,3). Ce proprietate are această dreaptă?
  3. Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(-10, -30) și B(10, -20)
  4. Dacă aria triunghiului determinat de trei puncte A, B și C este egală cu 0, ce putem spune despre cele 3 puncte?
  5. Să se calculeze aria triunghiului determinat de punctele A(1,0), B(0,1) și C(0,0)