Aplicații proprietatea lui Darboux (pD)

Exerciții rezolvate

1.Fie funcția:

043

Să se stabilească semnul funcției pe 044.

Rezolvare

Determinăm soluțiile ecuației f(x) = 0 ⇒ x2 – x = 0 ⇒ x(x-1) = 0 ⇒ x1 = 0 și x2 = 1. Cf pD pe fiecare dintre intervalele (-∞ , 0) , (0,1) , (1, +∞) avem semn constant. Pentru a afla semnul vom lua o valoare pe fiecare interval și vom calcula valoarea funcției pentru acea valoare:

f (-1) = 2 > 0 ⇒ f  este pozitivă pentru intervalul (-∞ , 0)
f (1/2) = -1/4 < 0 ⇒ f  este negativă pentru intervalul (0 , 1)
f (2) = 2 > 0 ⇒ f  este pozitivă pentru intervalul (1, +∞)

2.Să se rezolve inecuația (x2 – x – 2) lg x > 0

Rezolvare.

Vom pune condiția de existență a logaritmului ⇒ D = (0, +∞). Vom asocia o funcție f(x) = f1(x)f2(x), unde f1(x) = x– x – 2 și f2(x) = lgx . Prima funcție se anulează în x1 = -1 și x2 = 2, iar a doua funcție se anulează pentru x3 = 1. Pentru a stabili semnul funcției vom face următorul tabel:

046

Așa cum putem observa din tabel avem semnul funcției pozitiv pentru x între 1 și 2, deci soluția inecuației este x ∈ (1 , 2)

Exerciții propuse

Să se studieze semnul următoarelor funcții:

  1. f(x)= x4 – 10x2 + 9
  2. f(x)= 2x3 + 3x2 – 3x – 2
  3. f(x)= (x2-4)lgx ≤ 0
  4.  f(x) = (x + 1)ln(-x), pentru  x ∈ ( – ∞ , 0 )
  5.   f(x) = sin x + cos x, pentru x ∈ [0 , π/2]
  6.  f(x) = 1 + 2 lnx
  7.  f(x) = ln2x – 3lnx + 2

Limite de funcții

Notă: dând un clic pe numărul formulei veți fi direcționați la pagina cu formule. Evident numărul indicat pe această reprezintă numărul formulei de pe pagina Limite.

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1. Să se calculeze limita pentru u ≠ 0:

031

Rezolvare:

Deoarece u ≠ 0, putem amplifica fracția cu u:
032
Facem schimbarea de variabilă y = ux și observăm că pentru x → 0 avem y = ux → 0. Deci vom avea de calculat limita:
033
Conform formulei 1, limita de mai sus este egală cu 1, deci punând într-un șir toate calculele vom avea:
034

Exercițiul 2.
035

Rezolvare:

Notăm e2 cu a și atunci limita devine:
036

Aplicăm formula 8 și, înlocuind pe a cu e2, vom obține:
037

Exercițiul 3. Să se calculeze:
048

Rezolvare

049
050

Conform proprietăților limitelor, limita cerută va fi egală cu limita termenului din paranteză la puterea limită din puterea expresiei de mai sus. Concret vom calcula 2 limite:

051         (1)
052        (2)

Deci, înlocuind (1) și (2) în limita inițială, vom obține:
053

 

 

Exerciții propuse:

038039

040041042