Aplicații proprietatea lui Darboux (pD)

Exerciții rezolvate

1.Fie funcția:

043

Să se stabilească semnul funcției pe 044.

Rezolvare

Determinăm soluțiile ecuației f(x) = 0 ⇒ x2 – x = 0 ⇒ x(x-1) = 0 ⇒ x1 = 0 și x2 = 1. Cf pD pe fiecare dintre intervalele (-∞ , 0) , (0,1) , (1, +∞) avem semn constant. Pentru a afla semnul vom lua o valoare pe fiecare interval și vom calcula valoarea funcției pentru acea valoare:

f (-1) = 2 > 0 ⇒ f  este pozitivă pentru intervalul (-∞ , 0)
f (1/2) = -1/4 < 0 ⇒ f  este negativă pentru intervalul (0 , 1)
f (2) = 2 > 0 ⇒ f  este pozitivă pentru intervalul (1, +∞)

2.Să se rezolve inecuația (x2 – x – 2) lg x > 0

Rezolvare.

Vom pune condiția de existență a logaritmului ⇒ D = (0, +∞). Vom asocia o funcție f(x) = f1(x)f2(x), unde f1(x) = x– x – 2 și f2(x) = lgx . Prima funcție se anulează în x1 = -1 și x2 = 2, iar a doua funcție se anulează pentru x3 = 1. Pentru a stabili semnul funcției vom face următorul tabel:

046

Așa cum putem observa din tabel avem semnul funcției pozitiv pentru x între 1 și 2, deci soluția inecuației este x ∈ (1 , 2)

Exerciții propuse

Să se studieze semnul următoarelor funcții:

  1. f(x)= x4 – 10x2 + 9
  2. f(x)= 2x3 + 3x2 – 3x – 2
  3. f(x)= (x2-4)lgx ≤ 0
  4.  f(x) = (x + 1)ln(-x), pentru  x ∈ ( – ∞ , 0 )
  5.   f(x) = sin x + cos x, pentru x ∈ [0 , π/2]
  6.  f(x) = 1 + 2 lnx
  7.  f(x) = ln2x – 3lnx + 2

Limite de funcții

Notă: dând un clic pe numărul formulei veți fi direcționați la pagina cu formule. Evident numărul indicat pe această reprezintă numărul formulei de pe pagina Limite.

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1. Să se calculeze limita pentru u ≠ 0:

031

Rezolvare:

Deoarece u ≠ 0, putem amplifica fracția cu u:
032
Facem schimbarea de variabilă y = ux și observăm că pentru x → 0 avem y = ux → 0. Deci vom avea de calculat limita:
033
Conform formulei 1, limita de mai sus este egală cu 1, deci punând într-un șir toate calculele vom avea:
034

Exercițiul 2.
035

Rezolvare:

Notăm e2 cu a și atunci limita devine:
036

Aplicăm formula 8 și, înlocuind pe a cu e2, vom obține:
037

Exercițiul 3. Să se calculeze:
048

Rezolvare

049
050

Conform proprietăților limitelor, limita cerută va fi egală cu limita termenului din paranteză la puterea limită din puterea expresiei de mai sus. Concret vom calcula 2 limite:

051         (1)
052        (2)

Deci, înlocuind (1) și (2) în limita inițială, vom obține:
053

 

 

Exerciții propuse:

038039

040041042

Asimptotele funcțiilor reale

Exerciții rezolvate:

1.Să se determine domeniul de definiție și toate asimptotele funcției :

015 014

Rezolvare:

Domeniul de definiție va fi :

016

Mai întâi vom vedea dacă există asimptota orizontală. Pentru aceasta vom calcula următoarea limită:

017

Deci y =0 este asimptotă orizontală la +∞. Deoarece pentru x → -∞ avem același rezultat, putem spune că y = 0 este asimptotă orizontală la – ∞.

Acum vom vedea dacă avem asimptotă verticală. Vom calcula limitele laterale pentru x = 1:

a) limita stângă (x < 1):

018

Deci x = 1 este asimptotă verticală la stânga.

b) limita dreaptă(x>1):

019

Deci x = 1 este asimptotă verticală la dreapta.

Deoarece avem asimptote orizaontale și la – ∞ și la + ∞, nu avem asimptote oblice.

 

Exerciții propuse:

1.Fie

015
Să se determine domeniul maxim de definiție și să se afle (dacă există) asimptotele orizontale, verticale, oblice  pentru următoarele forme ale funcției  f :
020
021
022

 

 

 

Aplicații ale determinanților

Exerciții rezolvate:

1.Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(2,3) și B(4,6).

Rezolvare

Ecuația dreptei se poate afla cu ajutorul determinantului:

008

Înlocuind cu coordonatele punctelor A și B obținem:

009

= 3x + 4y + 12 – 12 – 6x – 2y = 0 ⇒ y = 3/2 x

2. Să se studieze dacă punctele A(2,3), B(4,6) și C(5,7) sunt coliniare.

Rezolvare.

Pentru ca aceste puncte să fie coliniare trebuie ca matricea

010

să fie egală cu zero.

Înlocuim cu valorile din enunț și facem calculele:

011

= 2x6x1 + 3x1x5 + 4x7x1 – 5x6x1 – 2x7x1 – 4x3x1 = – 1 ≠ 0, deci puncte nu sunt coliniare.

3.Să se determine aria triunghiului determinat de punctele A(2,3), B(4,6) și C(5,7).

Rezolvare.

Pentru următoarea notație:

012

avem

Aria = 1/2 |Δ|

Înlocuind pentru valorile din enunț:

013

= -1 (calculele sunt realizate la exercițiul anterior)

Deci Aria = 1/2

Exerciții propuse

  1. Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(0,2) și B (2,4)
  2. Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(1,3) și B(3,3). Ce proprietate are această dreaptă?
  3. Să se determine ecuația dreptei determinată de punctele A(-10, -30) și B(10, -20)
  4. Dacă aria triunghiului determinat de trei puncte A, B și C este egală cu 0, ce putem spune despre cele 3 puncte?
  5. Să se calculeze aria triunghiului determinat de punctele A(1,0), B(0,1) și C(0,0)