Determinanți (calcul și proprietăți) (în lucru)

Proprietăți (doar o parte. Pentru restul consultați manualul):

  1. Dacă toate elementele unei linii/coloane dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul asociat matricei este nul.
  2. Dacă într-o matrice schimbăm două linii/coloane între ele, obținem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
  3. Dacă o matrice are două linii/coloane identice, atunci determinantul asociat matricei este nul.
  4. Dacă elementele a două linii/coloane ale unei matrice sunt proporționale, atunci determinantul asociat matricei este nul.
  5. Dacă la o linie/coloană a unei matrice A adunăm elementele altei linii/coloane înmulțite cu acelați număr. Notăm cu B matricea obținută în urma acestor operații. Atunci det(A) = det(B).

Exerciții rezolvate:

1.Să se calculeze valoarea determinantului (n = 2):

010

Rezolvare:

Valoarea va fi dată de diferența dintre produsul elementelor de pe prima diagonală (\) și produsul elementelor de pe a doua diagonală (/):

= 3×2 – (-1)x6 = 12

 

2.Să se calculeze valoarea determinantului (n = 3):

008

Rezolvare.

Vom folosi metoda lui Sarrus. Vom copia primele două linii:

009

Se vor înmulți elementele de pe diagonalele care conțin 3 elemente. Astfel produsul de pe diagonala \ va avea semnul “+”, iar produsul elementelor de pe diagonala / va avea semnul “-“. Deci valoarea determinantului va fi:

= 3x2x1 + 6x(-7)x2 + 2x(-1)x5 – 2x2x2 – 5x(-7)x3 – 1x(-1)x6 = 6 – 84 – 10 – 6 + 105 + 6 = 17

3. Să se calculeze valoarea determinantului (n = 4):

011

Rezolvare

Metoda 1.

Vom folosi proprietățile pentru a obține pe o linie sau coloană cât mai multe elemente egale cu zero. De exemplu, putem alege coloana a 3-a. O înmulțim cu 6 și o adunăm la prima coloană (celelalte coloane vor rămâne neschimbate).

002

Apoi înmulțim coloana a 3-a cu 3 și o adună la a doua coloană:

003

În final vom înmulți coloana a 3-a cu 2 și o vom aduna la coloana a 4-a:

004

Acum vom “desface” determinantul după a doua linie. Pentru că primele două elemente de pe linia a 2-a și al 4-lea sunt 0, atunci vom avea de calculat un singur determinat de ordin 3. Pe primul loc va fi (-1) la puterea dată de suma dintre nr liniei și nr coloanei (2+3) înmulțit cu elementul nenul (-1) înmulțit cu determinatul obținut prin eliminarea liniei și coloanei pe care se află elementul nenul. Cum -1 la puterea a 5-a este -1 și înmulțit cu coeficientul -1 obținem în fața determinatului 1. Concret vom avea de calculat:

005

= -671

Metoda 2 (nu o recomand)

Fără a aplica proprietățile determinanților putem dezvolta după o linie/coloană. De exemplu putem “desface” determinantul după prima linie:

006

Observăm că valoarea ultimului termen este zero (deoarece avem o înmulțire cu zero), iar la termenul 2 și termenul 3 putem da factor comun 2. Atunci vom obține:

007

= 7 ( 3x2x1 + (-1)x5x2 + 6x(-7)x2 – 2x2x2 – (-7)x5x3 – (-1)x6x1) – 8 ( 3x2x1 + (-1)x5x4 +

+2x2x(-7) – 4x2x2 – 3x5x(-7) – 2x(-1)x1) + 4 (3x6x1 +3x4x5 +2x2x2 – 4x6x2 –

– 5x3x2 – 2x3x1) = 671

 

Exerciții propuse

  1. Să se calculeze valoarea determinanților (n=2):

012

2.Să se calculeze valoarea determinanților (n=3):

001

3.Să se calculeze valoarea determinanților(n-4):

 

Operații cu matrice

Exerciții rezolvate:

1.Fie două matrice A și B unde
002
003

Să se afle matricea C = AB

Rezolvare:
Deoarece numărul de linii a matricei A este egal cu numărul de coloane a lui B se poate calcula produsul AB. Matricea C va avea numărul de linii a lui A și numărul de coloane a lui B deci va fi de forma:
004
unde:

c11 = 1×1 + (-1)x0 + 2x(-1) = -1
c12 = 1×4 + (-1)x0 + 2×1 = 6
c21 = 0x1 + 4×0 + (-3)x(-1) = 3
c22 = 0x4 + 4X0 + 1X(-3) = -3

Deci

005

Exerciții propuse:

  1. Fie matricele A și B de forma:

006 007

Să se calculeze:

a) A + B, AB, BA
b) A2, B2 , A2 – B2
c) AB – BA

 

Functii injective, surjective, bijective

Exerciții rezolvate

  1. Fie D = [0, ∞) și funcția f : D → D , f (x) = 4x2. Să se studieze bijectivitatea funcției.

Rezolvare.

O funcție bijectivă dacă este injectivă și surjectivă.

a) injectivitatea funcției

fie x1, x2 ∈ D astfel încât f (x1) = f (x2) ⇒ 4x11 = 4x22 ⇒ 4x11 – 4x2= 0 ⇒

⇒ 4 (x11 – x22) = 0 ⇒ x11 – x2= 0 ⇒ (x1 – x2)(x1 + x2) = 0 . Deci avem două posibilități: fie x1 – x2 = 0, fie x1 + x2 = 0.

Dacă x1 – x2 = 0 ⇒ x1 = x2

Dacă x1 + x2 = 0 ⇒ x1 = – x2, dar cum x1, x2  sunt mai mari sau egale cu zero rezultă că x1 = x= 0

Cum în amândouă situațiile am obținut x1 = x2 înseamnă ca funcția e injectivă (f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2 )

b) surjectivitatea funcției

001

deci funcția este surjectivă.

Pentru că funcția e injectivă și surjectivă ⇒ funcția e bijectivă

 

Exerciții propuse:

Să studieze injectivitatea și surjectivitatea următoarelor funcții:

  1. Funcția de la exemplul 1, dar luând D = R

f : RR , f (x) = x2 + 3

2. f : RR , f (x) = x3 + 2

 

 

Despre

Textul de mai jos va fi pus și pe pagina “Despre”:

Acest blog va conține tipuri de exerciții de algebră și analiză matematică, necesare înțelegerii mai bune a noțiunilor din cursul de matematică de la Facultatea de Horticultură.

Exercițiile vor fi editate în Latex